Chuyên gia sao lại đi hỏi ^{( nghĩ chuyên gia phải cái gì cũng biết mà ??? )}

Ta có: \(\left(a+b+c\right)^2\ge0\)

     <=>\(a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)

     <=>\(1+2\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)

     <=>\(ab+bc+ca\ge\dfrac{-1}{2}\)

     hay P\(\ge\dfrac{-1}{2}\)

\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ca=\frac{\left(a+b+c\right)^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2}\ge\frac{0-1}{2}=-\frac{1}{2}\)

Dấu \(=\)khi \(\hept{\begin{cases}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2=1\end{cases}}\), chẳng hạn \(c=0,a=-b=\sqrt{\frac{1}{2}}\). 

Ta có : \(1\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{1+2\left(ab+bc+ca\right)}{3}\)

\(< =>ab+bc+ca\le1\)

Dấu "=" tự tìm nhaaaaa

Bạn xem lại đề nhé! Mình nghĩ đề đúng là:

"a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3. Tìm Min \(P=a^2+b^2+c^2+\frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}\)"

Bạn áp dụng BĐT AM-GM là ra nhé

cho mk hỏi bđt AM-GM là gì thế

a^2 hay a.2 thế

a^2 bn ạ!!
 

https://hoc24.vn/cau-hoi/cho-abc-0-thoa-man-abbcca3-tim-gia-tri-nho-nhat-cua-pdfrac13a1b2dfrac13b1c2dfrac13c1a2.6181078378966

\(a^2+ab+b^2=\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2+\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2=\dfrac{3}{4}\left(a+b\right)^2\)

Tương tự, ta có:

\(M\ge\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(a+b\right)+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(b+c\right)+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(c+a\right)=\sqrt{3}\left(a+b+c\right)=3\sqrt{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)